นิเสธ

นิเสธ
นอกจากการเชื่อมประพจน์ทั้ง 4 แบบที่กล่าวไปแล้ว การเปลี่ยนค่าความจริงของประพจน์ใดๆ สามารถทำได้โดยการกระทำที่เรียกว่า “นิเสธ” และสัญลักษณ์ที่ใช้แทนนิเสธคือ “~” ผลของการกระทำของนิเสธคือ จะเปลี่ยนค่าความจริงของประพจน์ไปเป็นค่าตรงกันข้าม ยกตัวอย่างเช่น ให้ p มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ว่า ~p มีค่าความจริงเป็นเท็จ
นิเสธ จะช่วยให้เราสามารถหาค่าความจริงของประพจน์ได้สะดวกขึ้น อย่างเช่น (p ν ~p) มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ หรือ  (p ↔ ~p) มีค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ ดังนั้นการเข้าใจและสามารถนำไปใช้งานอย่างรวดเร็วจะช่วยให้เราหาค่าความจริง


สมมูล
ประพจน์ที่สมมูลกันหมายถึง ประพจน์ที่มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคำว่าสมมูลคือ "≡"
การจำได้ว่าประพจน์ไหนสมมูลกับประพจน์ไหน ยังไงบ้าง จะมีประโยชน์อย่างมากในการหาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบที่มีความซับซ้อน ในที่นี้จะเลือกเฉพาะการสมมูลที่พบบ่อยๆมาเสนอเท่านั้น โดยสามารถแบ่งออกได้เป็น 5 แบบดังนี้


1. การสมมูลในรูปแบบการสลับที่
1.1 (p Λ q) ≡ (q Λ p)
1.2 (p ν q) ≡ (q ν p)
1.3 (p ↔ q) ≡ (q ↔ p)
ข้อสังเกต จะเห็นได้ว่า ประพจน์ที่เชื่อมด้วย → จะไม่มีการสมมูลในรูปแบบการสลับที่


2. การสมมูลในรูปแบบการเปลี่ยนกลุ่ม
2.1 (p Λ q) Λ r ≡ p Λ (q Λ r)
2.2 (p ν q) ν r ≡ p ν (q ν r)
2.3 (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r)
ข้อสังเกต จะเห็นได้ว่า ประพจน์ที่เชื่อมด้วย → จะไม่มีการสมมูลในรูปแบบการเปลี่ยนกลุ่ม


3. การสมมูลแบบการกระจาย
3.1 p Λ (q ν r) ≡ (p Λ q) ν (p Λ r)
3.2 p ν (q Λ r) ≡ (p ν q) Λ (p ν r)
3.3 p → (q Λ r) ≡ (p → q) Λ (p → r)
3.4 p → (q ν r) ≡ (p → q) ν (p → r)


4. การสมมูลแบบที่มีนิเสธ
4.1 ~ (p Λ q) ≡ ~ p ν ~q
4.2 ~ (p ν q) ≡ ~ p Λ ~q
4.3 ~(p → q) ≡ p Λ ~q
4.4 ~(p ↔ q) ≡ p ↔ ~q
4.5 ~(p → q) ≡ (p Λ ~q) ν (~p Λ q)
4.6 ~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q
 5. การสมมูลแบบอื่นๆที่พบบ่อยๆ
5.1 p → q ≡ ~p ν q
5.2 p → q ≡ ~q → ~p
5.3 p ↔ q ≡ (p → q) Λ (q → p)
5.4 (p ν q) → r ≡ (p → r) Λ (q → r)