ซึ่งเรามีวิธีการตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ของประพจน์ด้วยวิธีการต่างๆ 4 วิธี ได้แก่
1. การตรวจสอบโดยใช้ตารางค่าความจริง
2. การตรวจสอบโดยวิธีหาข้อขัดแย้ง
3. การตรวจสอบโดยใช้ความสมเหตุสมผล
4. การตราจสอบโดยใช้หลักของความสมมูล
แต่ก่อนที่เราจะมาดูหลักการของแต่ละวิธีนะครับ เรามาดูกันว่า กฎสำคัญที่เราต้องทราบกันก่อนนะครับ
1. p -> p ^ q Law of addition
2. p ^ q -> p Law of simplification
3. p ^ ( p -> q ) -> q Modus ponens
4. ~ q ^ ( p -> q ) -> ~p Modus tollens
5. p -> q <-> ~ q -> ~p Law of contraposition
6. ( p -> q ) ^ ( q -> r ) -> ( p -> r) Law of syllogism
7. ~ ( p ^ q ) <-> ~ p v ~ q
หรือ ~ ( p v q ) <-> ~ p ^ ~ q De Morgan’s laws
8. ( p -> r ) ^ ( q -> r ) <-> ( p v q ) -> r Inference by cases
9. p v ( q v r ) <-> ( p v q ) v r
หรือ p ^ ( q ^ r ) <-> ( p ^ q ) ^ r Associative laws
10 .p v q <-> q v p
หรือ p ^ q <-> q ^ p Commutative laws
11. p v ( q ^ r ) <-> ( p v q ) ^ ( p v r )
หรือ p ^ ( q v r ) <-> ( p ^ q ) v ( p ^ r )
Distributive laws
12. ~(~p) <-> p Double negation
13. ~p ^ ( p v q ) -> q Disjunction syllogism
14. (( p -> q ) ^ ~q ) -> ~p Law of absurdity
15. ( p -> q ) -> (( p v r ) -> ( q v r ))
16. ( p -> q ) -> (( p ^ r ) -> ( q ^ r ))
17. ( p -> q ) ^ ( p -> r ) <-> ( p -> ( q ^ r ))
18. p -> q <-> ~p v q Equivalence form for implication
19. ~( p -> q ) <-> p ^ ~q Negation for implication
20. p v ~p Law of excluded middle
21. [( p ^ q ) -> r } <-> { p -> ( q ^ r )]
22. ~ ( p ^ ~p ) law of contradiction
23. p v p <-> p
24. p ^ p <-> p
นอกจากนั้น ยังมีสัจนิรันดร์บางรูปแบบที่สอดคล้องกับสมบัติของอินเตอร์เซกชันและยูเนียนของเซต ได้แก่
1. ~ ( p ^ q ) <-> ~ p v ~ q
หรือ ~ ( p v q ) <-> ~ p ^ ~ q De Morgan’s laws
2. p v ( q v r ) <-> ( p v q ) v r
หรือ p ^ ( q ^ r ) <-> ( p ^ q ) ^ r Associative laws
3. p v q <-> q v p
หรือ p ^ q <-> q ^ p Commutative laws
4. p v ( q ^ r ) <-> ( p v q ) ^ ( p v r )
หรือ p ^ ( q v r ) <-> ( p ^ q ) v ( p ^ r )
Distributive laws
ส่วนกฎที่ใช้บ่อย ได้แก่
1. p ^ ( p -> q ) -> q
2. p -> q <-> ~q -> ~p
3. ( p -> q ) ^ ( q -> r ) -> ( p -> r )
4. ~p ^ ( p v q ) -> q
5. P -> q <-> ~p v q
เมื่อเรารู้กฎที่จำเป็นในการพิสูน์สัจนิรันดร์แล้ว เรามาดูว่าหลักการของแต่ละวิธีที่กล่าวไว้ข้างกัน กับการนำกฎต่างๆ มาใช้ จะช่วยให้เราพิสูจน์สัจนิรันดร์ได้อย่างไรบ้างนะครับ
1. การตรวจสอบโดยใข้ตารางค่าความจริง
ตัวอย่างที่ 1 จงตรวจสอบว่า ~q -> ~{( p -> q ) ^ p} เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิธีทำ เริ่มด้วยการสร้างตารางค่าความจริงนะครับ
p | q | ~q | p -> q | ~{( p -> q ) ^ p} | ~q -> ~{( p -> q ) ^ p} |
T | T | F | T | F | T |
T | F | T | F | T | T |
F | T | F | T | T | T |
F | F | T | T | T | T |
เพราะฉะนั้น จากตารางค่าความจริง เราจึงสรุปได้ว่า
~q -> ~{( p -> q ) ^ p} มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
ดังนั้น ~q -> ~{( p -> q ) ^ p} เป็นสัจนิรันดร์
2. การตรวจสอบโดยวิธีหาข้อขัดแย้ง
ในกรณีนี้ เราจะตรวจสอบว่า “ประพจน์นั้นๆ มีโอกาสเป็นเท็จหรือไม่” โดยการสมมติให้ประพจน์นั้นๆ เป็นเท็จ แล้วแสดงให้เห็นว่าข้อสมมตินั้นเป็นไปไม่ได้ ซึ่งมี 2 รูปแบบ คือ
1. p v q
จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งคู่
2. p -> q
จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p มีค่าความจริงเป็นจริง และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ เท่านั้น
ตัวอย่างที่ 2 จงตรวจสอบว่า ( ~p -> ~q ) -> ( p -> q ) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิธีทำ สมมติให้ ( ~p -> ~q ) -> ( p -> q ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
(ดูไฟล์แนบ)
เนื่องจาก ~p -> ~q ≡ T
และ p ≡ T
แสดงว่า q มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จก็ได้จะพบว่า ไม่มีประพจน์ใดขัดแย้งกัน
ดังนั้น ( ~p -> ~q ) -> ( p -> q ) ไม่เป็นสัจนิรันดร์
3. การตรวจสอบโดยใช้ความสมเหตุสมผล
การตรวจสอบโดยวิธีนี้ ใช้กับประพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ [ (p -> q) ^ p ] -> q หรือรูปแบบอื่นที่แบ่งประพจน์ออกเป็น 2 ส่วน คือ ส่วนที่เป็นเหตุ กับ ส่วนที่เป็นผล (ข้อสรุป) ซึ่งประพจน์เขียนอยู่ในรูป เหตุ -> ผล (ข้อสรุป) เหตุอาจจะมี 2-3 ข้อ หรือมากกว่าก็ได้ แต่ทุกข้อต้องเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อม ^
ในการตรวจสอบสัจนิรันดร์ ให้ตรวจสอบว่าการให้เหตุผลนั้น สมเหตุสมผลหรือไม่ ถ้าสมเหตุสมผล ประพจน์นั้นก็เป็นสัจนิรันดร์ ถ้าไม่สมเหตุสมผลจะไม่เป็นสัจนิรันดร์ ละในการตรวจสอบความสมเหตุสมผลนั้น จะต้องแยกออกเป็นข้อๆ
ตัวอย่างที่ 3 จงตรวจสอบว่า [((p -> q) ^ (p v r)) ^ ~r] -> q
วิธีทำ
แยกประพจน์ออกเป็น เหตุ และ ผล แต่ละข้อ ดังนี้
เหตุ ได้แก่ 1. p -> q
2. p v r
3. ~r
ผล คือ q
จากเหตุข้อที่ 3 เราจะรู้ว่า r มีค่าความจริงเป็นเท็จ
แทนค่าความจริงของ r ลงในเหตุข้อที่ 2 จะทำให้ได้ค่า p ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
แล้วจึงแทนค่า p ลงในเหตุข้อ 1 จะได้ค่า q ที่เป็นจริง
จึงสรุปได้ว่า การให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผล
ดังนั้น ประพจน์ [((p -> q) ^ (p v r)) ^ ~r] -> q เป็นสัจนิรันดร์
4. การตรวจสอบโดยใช้หลักของความสมมูล
ซึ่งประพจน์ที่สมมูลกัน เมื่อนำมาเชื่อมกันด้วย <-> จะได้ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ เช่น
p -> q ≡ ~p v q
p -> q ≡ ~q -> ~p
~( p ^ q) ≡ ~p v ~q
P ^ (q v r) ≡ (p ^ q) v (p ^ r)
ตัวอย่างที่ 4 จงตรวจสอบว่า (p -> ~q) v (q -> ~p) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิธีทำ (p -> ~q) v (q -> ~p)
≡ (~p v ~q) v (~q v ~p)
≡ (~p v ~p) v (~q v ~q)
≡ ~p v ~q
ดังนั้น (p -> ~q) v (q -> ~p) ไม่เป็นสัจนิรันดร์
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น