วันพฤหัสบดีที่ 26 มกราคม พ.ศ. 2555

การให้เหตุผลทางตรรกศสาตร์

 การอ้างเหตุผล คือ การอ้างว่า "สำหรับเหตุการณ์ P1, P2,..., Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่ตามมา C ได้"
 การอ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ
 1. เหตุ หรือสิ่งที่กำหนดให้
 2. ผล หรือสิ่งที่ตามมา
           สำหรับการพิจารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่นั้นพิจารณาได้จากประพจน์ ( P1 ∧ P2 ∧ ... Pn) → C ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวเป็นการอ้างที่สมเหตุสมผล
 ตัวอย่างเช่นเหตุ1. p → q
   2. p
  ผลq
 
 การอ้างเหตุผล คือ การอ้างว่า "สำหรับเหตุการณ์ P1, P2,..., Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่ตามมา C ได้"
 การอ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ
 1. เหตุ หรือสิ่งที่กำหนดให้
 2. ผล หรือสิ่งที่ตามมา
           สำหรับการพิจารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่นั้นพิจารณาได้จากประพจน์ ( P1 ∧ P2 ∧ ... Pn) → C ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวเป็นการอ้างที่สมเหตุสมผล
 ตัวอย่างเช่นเหตุ1. p → q
   2. p
  ผลq
 

การให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์

การพิสูจน์ทางตรรกศาสตร์ เป็นการให้เหตุผลโดยใช้ภาษาแสดงเหตุผล ซึ่งภาษาที่ใช้เขียนเป็นข้อกำหนด หรือข้อสมมติที่ตั้งขึ้น หรือเป็นข้อความสนับสนุน เรียกว่าเหตุ สำหรับภาษาที่ใช้เขียนเป็นข้อสรุป หรือผลลัพธ์ที่ได้จากการกระทำ หรือเป็นข้อความที่ถูกสนับสนุน เรียกว่าผล ซึ่งผลที่ได้จากการพิสูจน์ทางตรรกศาสตร์หรือการให้เหตุผล มี 2 ลักษณะ คือ สมเหตุสมผล กับ ไม่สมเหตุสมผลรูปแบบการให้เหตุผล

การให้เหตุผลมี 2 แบบ คือแบบนิรนัย และแบบอุปนัย
การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการให้เหตุผลโดยกำหนดให้หรือยอมรับเหตุเป็นจริง ซึ่งผลจะสมเหตุสมผลหรือไม่ จะต้องตรวจสอบความสมเหตุสมผลนั้น

การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นการให้เหตุผลโดยการใช้ประสบการณ์ย่อยหลาย ๆ ตัวอย่าง หรือการคาดคะเนในการสรุปผล ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้อาจไม่สอดคล้องกับเหตุทุกกรณี เนื่องจากผลลัพธ์ที่ได้อาจเป็นจริงหรือไม่เป็นจริงก็ได้

ความหมายตรรกศาตร์

ตรรกศาสตร์ : ความหมาย 
วิชาตรรกศาสตร์ หรือ ตรรกวิทยา (มาจากคำว่า "Logic" และฟังมาว่า ตอนที่จะบัญญัติศัพท์นี้เป็นภาษาไทยนั้น ราชบัญฑิตย์ฯ ประชุมกันหลายวาระ ตกลงกันไม่ได้ว่าคำใดจะเหมาะสมที่สุด เพราะผู้เสนอต่างก็เป็นผู้เชี่ยวชาญวิชานี้ เถียงกันไปเถียงกันมาจึงได้ข้อตกลงว่าใช้ได้ทั้ง ๒ คำ)  
อันที่จริง การโต้เถียงว่าจะบัญญัติคำใดแทน Logic นั้น มิใช่การอ้างเหตุผล แต่เป็น การทำให้มีเหตุผล  หรือ เหตุผลเข้าข้างตัวเอง (Rationalization) เท่านั้น เพราะผู้ถกเถียงต่างก็ไม่อยากจะใช้คำที่คนอื่นบัญญัติขึ้นมาและต้องการที่จะใช้คำที่ตนเองบัญญัติขึ้นมานั่นเอง ดังที่นักตรรกศาสตร์ท่านหนึ่งกล่าวไว้ว่า "ความจริงต้องมีเหตุผล แต่เหตุผลมิใช่ความจริง
ส่วนความหมายของวิชานี้ โดยทั่วไปก็มีผู้ให้ความหมายไว้ไม่ค่อยแตกต่างกันนัก เช่น "ศิลปแห่งการนิยามความหมายและการใช้เหตุผล" "การใช้เหตุผล"  หรือ "การให้เหตุผล" ...อะไรทำนองนี้
อนึ่ง ยังมีวิชาที่ใกล้เคียงกับตรรกศาสตร์ เช่น
ภาษาศาสตร์ หรือวิชาที่มีชื่ออย่างอื่นที่ศึกษาเกี่ยวกับภาษา วิชาเหล่านี้จะใกล้เคียงกับตรรกศาสตร์ เนื่องจากตรรกศาสตร์ก็ต้องใช้ภาษาเช่นเดียวกัน
จิตวิทยา จะศึกษาเรื่องพฤติกรรมของจิตหรือกลไกของระบบความคิด ซึ่งตรรกศาสตร์ก็ต้องใช้กระบวนการของจิตเช่นเดียวกันเพื่อคิดหาเหตุผลมาอธิบาย
ญาณวิทยา หรือทฤษฎีความรู้ ก็จะใกล้เคียงกับตรรกศาสตร์ เพราะมีกระบวนการสร้างความความรู้ ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของความรู้ เป็นต้น
คณิตศาสตร์ ก็ใกล้เคียงกับตรรกศาสตร์ เพราะใช้วิธีการคิดที่เต็มไปด้วยกฎระเบียบเช่นเดียวกัน โดยเฉพาะตรรกศาสตร์สัญลักษณ์เป็นเรื่องหนึ่งซึ่งบังคับให้ทั้งผู้ที่เรียนคณิตศาสตร์และตรรกศาสตร์ต้องเรียนเรื่องนี้
อนึ่งโสด มีผู้เปรียบเทียบไว้ว่า เครื่องมือที่ดีย่อมสร้างสิ่งที่ดีได้ ฉันใด ตรรกศาสตร์ก็คล้ายๆ เครื่องมือฉันนั้น กล่าวคือ ตรรกศาสตร์คล้ายๆ เครื่องมือที่ใช้ศึกษาวิชาเหล่านี้และวิชาอื่นๆ นั่นเอง

ประพจน์ที่สมมูลกัน

ประพจน์ที่สมมูลกัน
ประพจน์2ประพจน์จะสมมูลกันก็ต่อเมื่อประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน
ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย
ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้
p q สมมูลกับ q p
p q สมมูลกับ q p
(p q) r สมมูลกับ p (q r)
(p q) r สมมูลกับ p (q r)
p (q r) สมมูลกับ (p q) ( p r)
p (q r) สมมูลกับ (p q) ( p r)
p q สมมูลกับ ~p q
p q สมมูลกับ ~q ~p
p q สมมูลกับ (p q) (q p)

ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย
ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้
~(p q) สมมูลกับ ~p ~q
~(p q) สมมูลกับ ~p ~q
~(p q) สมมูลกับ p ~q


ตัวบ่งปริมาณ ตรรกศสาตร์

ตัวบ่งปริมาณ  

              ในวิชาคณิตศาสตร์  จะพบกับวลีว่า 

                    สำหรับ x ทุกตัว x2 > 0 “ 
                    มี  x บางตัว   ชึ่ง  x > 3 “ 
           เราเรียก     สำหรับ... ทุกตัว    และ     มี ....บางตัว    ว่าเป็นตัวบ่งปริมาณ

              ตัวบ่งปริมาณในประโยคดังกล่าวนั้นจะปรากฎในประโยคเปิด  ซึ่งจะจำแนกได้

              2 ประเภทคือ
           1. ตัวบ่งปริมาณที่หมายถึง  ทั้งหมด “ “ ทุก ๆ “ “ แต่ละอัน จะเขียนแทนด้วย
              สัญลักษณ์      "  และ

"x  อ่านว่า   สำหรับ x  ทุกตัว
                     สำหรับ x  แต่ละตัว
                     สำหรับ x  ใด ๆ


           2. ตัวบ่งปริมาณที่หมายถึง  บางส่วน   บางอย่าง“ “ บางสิ่ง    มี
               มีอย่างน้อย    จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์      $  และ

$x  อ่านว่า   จะมี  x  บางตัว
                    สำหรับ x  บางตัว
                     มี   x  อย่างน้อยหนึ่งตัว

  ตัวอย่าง      การอ่านประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณกำกับ
  1. "x [ x + 0 = x ]           อ่านว่า  สำหรับ x ทุกตัว  x + 0 = x
  2. "x [ x Î I   ® x Î R ]  อ่านว่า  สำหรับ x ทุกตัว  ถ้า x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x  เป็น
                                                            เป็นจำนวนจริง
  3. $x [ x >  4 ]      อ่านว่า   มี  x บางตัว  ชึ่ง  x > 4
  4. $x [x Î I  Ù x2 =  4 ] อ่านว่า   มี  x บางตัว  ชึ่ง  x เป็นจำนวนเต็มแล้ว x2 =  4
  5. $x"y [ x + y = 5 ]  อ่านว่า  สำหรับ x ทุกตัว  จะมี yบางตัว  ซึ่ง   x + y = 5
  6. "x"y [ x + y > 4 ]  อ่านว่า  สำหรับ x ทุกตัว  สำหรับ y ทุกตัว  ซึ่ง   x + y  > 4
  7. $x$y [ x + y < 3 ]  อ่านว่า  มี x และ yบางตัว  ซึ่ง   x + y <  3
  
   ข้อตกลง

1. ถ้าประพจน์นั้นนำหน้าด้วย "  แล้ว  ประโยคเปิดด้านในวงเล็บให้เชื่อมด้วย ®
2. ถ้าประพจน์นั้นนำหน้าด้วย $  แล้ว  ประโยคเปิดด้านในวงเล็บให้เชื่อมด้วย   Ù


  ตัวอย่าง   จงเขียนประโยคต่อไปนี้  ในรูปของสัญลักษณ์
     1. ประโยค  จำนวนตรรกยะทุกตัวเป็นจำนวนจริง   เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
          วิธีทำ     Q   ให้  แทน  จำนวนตรรกยะ
                        R   ให้  แทน  จำนวนจริง
                               =    "x [ x เป็นจำนวนตรรกยะ® x  เป็นจำนวนจริง ]
                                =    "x [ x Î Q ®  x Î R  ]

     2. ประโยค  จำนวนเต็มคู่บางตัวเป็นจำนวนเต็มคี่   เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
          วิธีทำ      E   ให้  แทน  จำนวนเต็มคู่
                        O   ให้  แทน  จำนวนเต็มคี่
                               =    $x [ x เป็นจำนวนเต็มคู่® x  เป็นจำนวนเต็มคี่   ]
                                =    $x [ x Î E  Ù x Î O  ]

    3. ประโยค  ไม่มีแมวตัวใดเลยเป็นสัตว์     เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
          วิธีทำ     P(x)   ให้  แทน  แมว
                        Q(x)  ให้  แทน  สัตว์
                                =     ไม่มีแมวตัวใดเลยเป็นสัตว์
                                =     แมวทุกตัวเป็นสัตว์
                                =    "x [ x เป็นแมว ® x  เป็นสัตว์ ]
                                 =    "x [  P(x) ®  Q(x ) ]

วันอาทิตย์ที่ 22 มกราคม พ.ศ. 2555

คณิตตรรกศาสตร์

คณิตตรรกศาสตร์

ในสาขาคณิตตรรกศาสตร์มีการแยกสัจพจน์ออกเป็นสองรูปได้แก่ "สัจพจน์ที่เป็นตรรกะ" และ "สัจพจน์ที่ไม่เป็นตรรกะ" ซึ่งคล้ายคลึงกับการแยก "สัจพจน์" กับ "มูลบท" ในสมัยก่อนตามลำดับ

 สัจพจน์ที่เป็นตรรกะ

ในภาษารูปนัยมีสูตรเชิงตรรกะตายตัวที่ถือว่าสมเหตุสมผลโดยสากล (Universally Valid) สูตรนี้จะสอดคล้องกับค่าความจริงทุกค่า โดยปกติแล้วการกำหนดสัจพจน์ที่เป็นตรรกะจะกำหนดให้มีจำนวนน้อยที่สุดที่เพียงพอที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ในภาษาทั้งหมดได้ ยกเว้นแต่ตรรกะภาคแสดง(predicate logic) จะมีการเพิ่มสัจพจน์มากกว่าที่จำเป็น เพื่อพิสูจน์ค่าความจริงของประโยคที่ไม่เป็นสัจนิรันดร์ภายใต้เงื่อนไขที่รัดกุม

 ตัวอย่าง

 ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์
ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ โดยปกติแล้วจะมีสูตรเชิงตรรกะที่กำหนดให้เป็นสัจพจน์ดังนี้ เมื่อให้ ϕ, χ, and ψ เป็นสูตรเชิงตรรกะใดๆ ในภาษารูปนัย ภายใต้ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์เพียงสองอันได้แก่ "\neg" นิเสธของประพจน์ และ "\to\," เงื่อนไข (ตรรกศาสตร์) ที่เชื่อมประพจน์จากเหตุไปสู่ผล:
  1. \phi \to (\psi \to \phi)
  2. (\phi \to (\psi \to \chi)) \to ((\phi \to \psi) \to (\phi \to \chi))
  3. (\lnot \phi \to \lnot \psi) \to (\psi \to \phi).
แต่ละรูปแบบล้วนเป็น เค้าร่างสัจพจน์(Axiom Schema) ซึ่งสามารถผลิตสัจพจน์อื่นได้จำนวนไม่จำกัด ยกตัวอย่างเช่นให้ A, B C แทน ตัวแปรเชิงประพจน์ ใดๆ A \to (B \to A) และ (A \to \lnot B) \to (C \to (A \to \lnot B)) ก็ล้วนแต่เป็นผลมาจากเค้าร่างสัจพจน์ที่ 1 ดังนั้นจึงประโยคทั้งสองจึงเป็นสัจพจน์ไปด้วย
เค้าร่างสัจพจน์ทั้งสามเมื่อรวมกับ modus ponens นั้นเพียงพอที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ทั้งหมดได้ แต่การหยิบแค่สองเค้าร่างนั้นไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ทั้งหมด จำนวนของสัจพจน์ของตรรกเชิงประพจน์ดังกล่าวจึงน้อยที่สุดแล้วที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ทั้งหมดได้ นอกจากนั้นแล้ว เรายังสามารถสร้างเค้าร่างสัจพจน์อื่นๆ ภายใต้ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์ได้อย่างอิสระจากเค้าร่างสัจพจน์ดังกล่าว [1] และเค้าร่างสัจพจน์นี้ยังใช้ในตรรกศาสตร์ภาคแสดงแต่ต้องเพิ่มสัจพจน์ที่เป็นตรรกะอื่นๆ ลงไป เช่นสัจพจน์ของตัวบ่งปริมาณ เป็นต้น[2]
คณิตตรรกศาสตร์
สัจพจน์แห่งความเท่ากัน ให้ \mathfrak{L} เป็นภาษาอันดับหนึ่ง และ x เป็นตัวแปรใดๆ บนภาษานั้น จะได้ว่า
x = x\,
เป็นสูตรที่สมเหตุสมผล
นั่นหมายความว่าสำหรับตัวแปร x ใดๆ การเขียน x = x ย่อมเป็นสัจพจน์เสมอ
เค้าร่างสัจพจน์สำหรับตัวอย่างสากล ให้ \phi\, เป็นสูตรบน\mathfrak{L} ซึ่งเป็นภาษาอันดับหนึ่ง ตัวแปรx และเทอม t ซึ่งสามารถ แทนค่าได้บน x ใน ϕ จะได้ว่า
\forall x \, \phi \to \phi^x_t
เป็นสูตรที่สมเหตุสมผล
โดยที่สัญลักษณ์ \phi^x_t แทนสูตร φ เมื่อแทนสูตร t ลงไปใน x นั่นหมายความว่าเมื่อเราระบุว่า สำหรับทุกๆ x แล้วสูตร \phi^x_t เป็นจริง ดังนั้น เมื่อแทนสูตร t ลงไปใน ϕ ซึ่งเป็นกรณีเฉพาะกว่าก็ย่อมเป็นจริงด้วย
เค้าร่างสัจพจน์สำหรับการมีอยู่จริงโดยทั่วไป ให้ \phi\, เป็นสูตรบน\mathfrak{L} ซึ่งเป็นภาษาอันดับหนึ่ง ตัวแปรx และเทอม t ซึ่งสามารถ แทนค่าได้บน x ใน ϕ จะได้ว่า
\phi^x_t \to \exists x \, \phi
เป็นสูตรที่สมเหตุสมผล

นิเสธ

นิเสธ
นอกจากการเชื่อมประพจน์ทั้ง 4 แบบที่กล่าวไปแล้ว การเปลี่ยนค่าความจริงของประพจน์ใดๆ สามารถทำได้โดยการกระทำที่เรียกว่า “นิเสธ” และสัญลักษณ์ที่ใช้แทนนิเสธคือ “~” ผลของการกระทำของนิเสธคือ จะเปลี่ยนค่าความจริงของประพจน์ไปเป็นค่าตรงกันข้าม ยกตัวอย่างเช่น ให้ p มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ว่า ~p มีค่าความจริงเป็นเท็จ
นิเสธ จะช่วยให้เราสามารถหาค่าความจริงของประพจน์ได้สะดวกขึ้น อย่างเช่น (p ν ~p) มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ หรือ  (p ↔ ~p) มีค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ ดังนั้นการเข้าใจและสามารถนำไปใช้งานอย่างรวดเร็วจะช่วยให้เราหาค่าความจริง


สมมูล
ประพจน์ที่สมมูลกันหมายถึง ประพจน์ที่มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคำว่าสมมูลคือ "≡"
การจำได้ว่าประพจน์ไหนสมมูลกับประพจน์ไหน ยังไงบ้าง จะมีประโยชน์อย่างมากในการหาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบที่มีความซับซ้อน ในที่นี้จะเลือกเฉพาะการสมมูลที่พบบ่อยๆมาเสนอเท่านั้น โดยสามารถแบ่งออกได้เป็น 5 แบบดังนี้


1. การสมมูลในรูปแบบการสลับที่
1.1 (p Λ q) ≡ (q Λ p)
1.2 (p ν q) ≡ (q ν p)
1.3 (p ↔ q) ≡ (q ↔ p)
ข้อสังเกต จะเห็นได้ว่า ประพจน์ที่เชื่อมด้วย → จะไม่มีการสมมูลในรูปแบบการสลับที่


2. การสมมูลในรูปแบบการเปลี่ยนกลุ่ม
2.1 (p Λ q) Λ r ≡ p Λ (q Λ r)
2.2 (p ν q) ν r ≡ p ν (q ν r)
2.3 (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r)
ข้อสังเกต จะเห็นได้ว่า ประพจน์ที่เชื่อมด้วย → จะไม่มีการสมมูลในรูปแบบการเปลี่ยนกลุ่ม


3. การสมมูลแบบการกระจาย
3.1 p Λ (q ν r) ≡ (p Λ q) ν (p Λ r)
3.2 p ν (q Λ r) ≡ (p ν q) Λ (p ν r)
3.3 p → (q Λ r) ≡ (p → q) Λ (p → r)
3.4 p → (q ν r) ≡ (p → q) ν (p → r)


4. การสมมูลแบบที่มีนิเสธ
4.1 ~ (p Λ q) ≡ ~ p ν ~q
4.2 ~ (p ν q) ≡ ~ p Λ ~q
4.3 ~(p → q) ≡ p Λ ~q
4.4 ~(p ↔ q) ≡ p ↔ ~q
4.5 ~(p → q) ≡ (p Λ ~q) ν (~p Λ q)
4.6 ~(p ↔ q) ≡ ~p ↔ q
 5. การสมมูลแบบอื่นๆที่พบบ่อยๆ
5.1 p → q ≡ ~p ν q
5.2 p → q ≡ ~q → ~p
5.3 p ↔ q ≡ (p → q) Λ (q → p)
5.4 (p ν q) → r ≡ (p → r) Λ (q → r)

สัจนิรันดร์

สัจนิรันดร์ หมายถึง ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี (ไม่มีกรณีที่เป็นเท็จแม้แต่กรณีเดียว)
ซึ่งเรามีวิธีการตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ของประพจน์ด้วยวิธีการต่างๆ 4 วิธี ได้แก่

1. การตรวจสอบโดยใช้ตารางค่าความจริง

2. การตรวจสอบโดยวิธีหาข้อขัดแย้ง
3. การตรวจสอบโดยใช้ความสมเหตุสมผล
4. การตราจสอบโดยใช้หลักของความสมมูล
แต่ก่อนที่เราจะมาดูหลักการของแต่ละวิธีนะครับ เรามาดูกันว่า กฎสำคัญที่เราต้องทราบกันก่อนนะครับ
1. p -> p ^ q                 Law of addition
2. p ^ q -> p                 Law of simplification
3. p ^ ( p -> q ) -> q     Modus ponens
4. ~ q ^ ( p -> q ) -> ~p          Modus tollens
5. p -> q <-> ~ q -> ~p           Law of contraposition
6. ( p -> q ) ^ ( q -> r ) -> ( p -> r)   Law of syllogism

7. ~ ( p ^ q ) <-> ~ p v ~ q   
หรือ ~ ( p v q ) <-> ~ p ^ ~ q     De Morgan’s laws

8. ( p -> r ) ^ ( q -> r ) <-> ( p v q ) -> r                    Inference by cases
9. p v ( q v r ) <-> ( p v q ) v r 
หรือ  p ^ ( q ^ r ) <-> ( p ^ q ) ^ r    Associative laws
10 .p v q <-> q v p 
หรือ   p ^ q <-> q ^ p                       Commutative laws

11. p v ( q ^ r ) <-> ( p v q ) ^ ( p v r )  
หรือ  p ^ ( q v r ) <-> ( p ^ q ) v ( p ^ r ) 
Distributive laws

12. ~(~p) <-> p                              Double negation
13. ~p ^ ( p v q ) -> q                     Disjunction syllogism

14. (( p -> q ) ^ ~q ) -> ~p             Law of absurdity
15. ( p -> q ) -> (( p v r ) -> ( q v r ))             
16. ( p -> q ) -> (( p ^ r ) -> ( q ^ r ))
17. ( p -> q ) ^ ( p -> r ) <-> ( p -> ( q ^ r ))
18. p -> q <-> ~p v q   Equivalence form for implication
19. ~( p -> q ) <-> p ^ ~q         Negation for implication
20.  p v ~p                                  Law of excluded middle
21. [( p ^ q ) -> r } <-> { p -> ( q ^ r )]           
22.  ~ ( p ^ ~p )                       law of contradiction
23.  p v p <-> p
24.  p ^ p <-> p
นอกจากนั้น ยังมีสัจนิรันดร์บางรูปแบบที่สอดคล้องกับสมบัติของอินเตอร์เซกชันและยูเนียนของเซต ได้แก่
1. ~ ( p ^ q ) <-> ~ p v ~ q   
หรือ ~ ( p v q ) <-> ~ p ^ ~ q          De Morgan’s laws

2. p v ( q v r ) <-> ( p v q ) v r 
หรือ  p ^ ( q ^ r ) <-> ( p ^ q ) ^ r    Associative laws

3. p v q <-> q v p 
หรือ   p ^ q <-> q ^ p                       Commutative laws

4. p v ( q ^ r ) <-> ( p v q ) ^ ( p v r )  
หรือ  p ^ ( q v r ) <-> ( p ^ q ) v ( p ^ r ) 
Distributive laws

ส่วนกฎที่ใช้บ่อย ได้แก่
1. p ^ ( p -> q ) -> q
2. p -> q <-> ~q -> ~p
3. ( p -> q ) ^ ( q -> r ) -> ( p -> r )
4. ~p ^ ( p v q ) -> q
5. P -> q <-> ~p v q
เมื่อเรารู้กฎที่จำเป็นในการพิสูน์สัจนิรันดร์แล้ว เรามาดูว่าหลักการของแต่ละวิธีที่กล่าวไว้ข้างกัน กับการนำกฎต่างๆ มาใช้ จะช่วยให้เราพิสูจน์สัจนิรันดร์ได้อย่างไรบ้างนะครับ
1.       การตรวจสอบโดยใข้ตารางค่าความจริง
ตัวอย่างที่ 1 จงตรวจสอบว่า ~q -> ~{( p -> q ) ^ p} เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิธีทำ เริ่มด้วยการสร้างตารางค่าความจริงนะครับ

p
q
~q
p -> q
~{( p -> q ) ^ p}
~q -> ~{( p -> q ) ^ p}
T
T
F
T
F
T
T
F
T
F
T
T
F
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
T

 เพราะฉะนั้น จากตารางค่าความจริง เราจึงสรุปได้ว่า
 ~q -> ~{( p -> q ) ^ p} มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
ดังนั้น ~q -> ~{( p -> q ) ^ p} เป็นสัจนิรันดร์

2.     
การตรวจสอบโดยวิธีหาข้อขัดแย้ง

ในกรณีนี้ เราจะตรวจสอบว่า “ประพจน์นั้นๆ มีโอกาสเป็นเท็จหรือไม่” โดยการสมมติให้ประพจน์นั้นๆ เป็นเท็จ แล้วแสดงให้เห็นว่าข้อสมมตินั้นเป็นไปไม่ได้ ซึ่งมี  2 รูปแบบ คือ
 1. p v q
จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งคู่
2. p -> q
จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อ p มีค่าความจริงเป็นจริง และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ เท่านั้น
ตัวอย่างที่ 2  จงตรวจสอบว่า ( ~p -> ~q ) -> ( p -> q ) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิธีทำ        สมมติให้ ( ~p -> ~q ) -> ( p -> q ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ
(ดูไฟล์แนบ)

เนื่องจาก  ~p -> ~q ≡ T

และ p ≡ T
แสดงว่า q มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จก็ได้จะพบว่า ไม่มีประพจน์ใดขัดแย้งกัน
ดังนั้น ( ~p -> ~q ) -> ( p -> q ) ไม่เป็นสัจนิรันดร์

3. การตรวจสอบโดยใช้ความสมเหตุสมผล

การตรวจสอบโดยวิธีนี้ ใช้กับประพจน์ที่อยู่ในรูปแบบ [ (p -> q) ^ p ] -> q หรือรูปแบบอื่นที่แบ่งประพจน์ออกเป็น 2 ส่วน คือ ส่วนที่เป็นเหตุ กับ ส่วนที่เป็นผล (ข้อสรุป) ซึ่งประพจน์เขียนอยู่ในรูป เหตุ -> ผล (ข้อสรุป) เหตุอาจจะมี 2-3 ข้อ หรือมากกว่าก็ได้ แต่ทุกข้อต้องเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อม ^
ในการตรวจสอบสัจนิรันดร์ ให้ตรวจสอบว่าการให้เหตุผลนั้น สมเหตุสมผลหรือไม่ ถ้าสมเหตุสมผล ประพจน์นั้นก็เป็นสัจนิรันดร์ ถ้าไม่สมเหตุสมผลจะไม่เป็นสัจนิรันดร์ ละในการตรวจสอบความสมเหตุสมผลนั้น จะต้องแยกออกเป็นข้อๆ
ตัวอย่างที่ 3 จงตรวจสอบว่า [((p -> q) ^ (p v r)) ^ ~r] -> q
วิธีทำ
แยกประพจน์ออกเป็น เหตุ และ ผล แต่ละข้อ ดังนี้
เหตุ ได้แก่        1. p -> q
                        2. p v r
                        3. ~r
ผล  คือ  q
จากเหตุข้อที่ 3 เราจะรู้ว่า r มีค่าความจริงเป็นเท็จ

แทนค่าความจริงของ r ลงในเหตุข้อที่ 2 จะทำให้ได้ค่า p ที่มีค่าความจริงเป็นจริง
แล้วจึงแทนค่า p ลงในเหตุข้อ 1 จะได้ค่า q ที่เป็นจริง
จึงสรุปได้ว่า การให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผล
ดังนั้น ประพจน์    [((p -> q) ^ (p v r)) ^ ~r] -> q   เป็นสัจนิรันดร์
4.      การตรวจสอบโดยใช้หลักของความสมมูล
ซึ่งประพจน์ที่สมมูลกัน เมื่อนำมาเชื่อมกันด้วย <-> จะได้ประพจน์ที่เป็นสัจนิรันดร์ เช่น
p -> q ≡ ~p v q
p -> q ≡ ~q -> ~p
~( p ^ q) ≡ ~p v ~q
P ^ (q v r) ≡ (p ^ q) v (p ^ r)

ตัวอย่างที่ 4   จงตรวจสอบว่า (p -> ~q) v (q -> ~p) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วิธีทำ                      (p -> ~q) v (q -> ~p)
                             ≡ (~p v ~q) v (~q v ~p)
                             ≡ (~p v ~p) v (~q v ~q)
                             ≡ ~p v ~q
ดังนั้น (p -> ~q) v (q -> ~p) ไม่เป็นสัจนิรันดร์